Сопромат расчет балки на прочность

Сопромат расчет балки на прочность

Произвести полный расчет на прочность и проверить жесткость изгибаемой статически определимой двутавровой балки (рис. 1) при следующих данных: F=40кН, q=30 кН/м, a=0,8 м, l=4м, допустимые нормальные и касательные напряжения: [ σ ]=160 МПа и [ τ ]=100 МПа, допустимый прогиб балки [f]= l/400

Сопромат расчет балки на прочность

Определение опорных реакций

Подробно, пример определения опорных реакций для балки рассмотрен здесь

А также в нашем видеоуроке:

Сопромат расчет балки на прочность

Сопромат расчет балки на прочность

Сопромат расчет балки на прочность

Построение эпюр Q и М

По этим данным построены эпюры Q и М.

Подбор сечения двутавровой балки

Так как Мmах = 45 кНм, то

По сортаменту выбираем двутавр № 24, для которого Wx = 289 см 3 , Ix= 3460 см 4 , Smax = 163 см 3 , h = 24 см, bп = 11,5 см, t = 0,95 см, d = bc = 0,56 см, h = h-2t = 22,1 см.

Этот двутавр будет работать при максимальном нормальном напряжении в крайнем волокне опасного сечения.

Проверка сечения балки по касательным напряжениям

Так как Qmax = 68 кН, то

Сопромат расчет балки на прочность

Построение эпюр нормальных σ и касательных τ напряжений в неблагоприятном сечении балки:

В отношении главных напряжений неблагоприятным является сечение над левой опорой, в котором:

Значение напряжений в различных точках по высоте двутавра сведены в таблицу 1

Сопромат расчет балки на прочность

Сопромат расчет балки на прочность

Проверка прочности балки по главным напряжениям

Наиболее опасной точкой в неблагоприятном сечении является точка 3. В этой точке σ 1=118 МПа и σ 3= -16 МПа. Проверяем прочность в этой точке по третьей гипотезе прочности согласно неравенству σ 1 — σ 3≤ [ σ ].

Так как 118 — ( -16) = 134 θ

Сопромат расчет балки на прочность

откуда θ = -8,48∙10 -3 радиан.

Прогиб в пролете при z=l/2=4/2=2 м.

Сопромат расчет балки на прочность

Аналогично определяется прогиб на конце консоли при z = l + a =4+0,8 = 4,8 м.

Расчет по допускаемым напряжениям на прочность при изгибе.

Сопромат расчет балки на прочность

Сопромат расчет балки на прочность

Сопромат расчет балки на прочность

– при симметричном сечении

Проверка прочности по предельным состояниям.

Сопромат расчет балки на прочность

Сопромат расчет балки на прочность– максимальный изгибающий момент от расчетных нагрузок.

n – коэффициент перегрузки.

Сопромат расчет балки на прочность– нормативная нагрузка.

Рр – расчетная нагрузка.

Сопромат расчет балки на прочность– коэффициент условия работы.

Если материал работает неодинаково на растяжение и сжатие, то прочность проверяется по формулам:

Сопромат расчет балки на прочность

Сопромат расчет балки на прочность

где Rp и Rсж – расчетное сопротивление на растяжение и сжатие

Расчет по несущей способности и учетом пластической деформации.

В предыдущих методах расчета прочность проверяется по максимальны напряжениям в верхних и нижних волокнах балки. При этом средние волокна оказываются недогруженными.

Оказывается, если нагрузку увеличивать дальше, то в крайних волокнах напряжение дойдет до предела текучести σт ( в пластичных материалах), и до предела прочности σnч ( в хрупких материалах). При дальнейшем увеличении нагрузки хрупкие материалы разрушатся, а в пластичных материалах напряжения в крайних волокнах далее не возрастают, а растут во внутренних волокнах. (см. рис.)

Читать также:  Как выкрутить сломанный болт из колеса

Сопромат расчет балки на прочность

Несущая способность балки исчерпывается, когда по всему сечению напряжения достигнут σт.

Сопромат расчет балки на прочность

W пл – пластический момент сопротивления

Сопромат расчет балки на прочность– статический момент растянутой и сжатой зон относительно нейтральной оси.

Сопромат расчет балки на прочностьгде Сопромат расчет балки на прочность– коэффициент надежности по материалу.

Сопромат расчет балки на прочностьгде R – расчетное сопротивление.

Сопромат расчет балки на прочность

Для прямоугольного сечения:

Сопромат расчет балки на прочность

Сопромат расчет балки на прочность

Сопромат расчет балки на прочность

W пл=bh 2 /4 – для прямоугольного сечения.

W =bh 2 /6 – обычный момент сопротивления.

Примечание: для прокатных профилей (швеллер и двутавр) пластический момент Wnл=(1.1÷1,17)×W

Касательные напряжения при изгибе балки прямоугольного сечения. Формула Журавcкого.

Сопромат расчет балки на прочность

Так как момент в сечении 2 больше момента в сечении 1, то напряжение σ21=>N2>N1.

В этом случае элемент abcd должен переместиться влево. Этому перемещению препятствуют касательные напряжения τ на площадке cd.

Сопромат расчет балки на прочность– уравнение равновесия, после преобразования которого получается формула для определения τ: Сопромат расчет балки на прочность– Формула Журавского

Сопромат расчет балки на прочность

где Q – поперечная сила,

Sотс – статический момент отсеченной части относительно нейтральной оси,

J-момент инерции всего сечения относительно нейтральной оси, b – ширина балки на уровне y.

Распределение касательных напряжений в балках прямоугольного, круглого и двутаврового сечений.

1. Прямоугольное сечение:

Сопромат расчет балки на прочность

Сопромат расчет балки на прочность– формула для сечения на расстоянии у от нейтральной оси.

Сопромат расчет балки на прочность

Сопромат расчет балки на прочность

Сопромат расчет балки на прочность– формула для сечения на расстоянииу от нейтральной оси.

Сопромат расчет балки на прочность– формула для сечения под углом α.

Сопромат расчет балки на прочность

3. Двутавровое сечение.

Сопромат расчет балки на прочность

Для стенки двутавра

вычисляют по формуле:

Сопромат расчет балки на прочность

Сопромат расчет балки на прочность

Для полки: условно вертикальные касательные напряжения определяют по формуле:

Сопромат расчет балки на прочность

Сопромат расчет балки на прочность

В полках двутавров возникают касательные напряжения, направленные горизонтально:

Сопромат расчет балки на прочность

Сопромат расчет балки на прочность

На рисунке показан общий характер распределения τ в сечении двутавра.

Главные напряжения при изгибе. Проверка прочности балок.

Сопромат расчет балки на прочность

Выделим из балки участок, на который действует максимально поперечная сила Qmax и изгибающий момент Mmax.

Наиболее опасными точками являются сечение A и точка Б.

Прочность проверяется по напряжениям в этих точках.

На практике обычно ограничиваются проверкой сечения A:

Сопромат расчет балки на прочностьСопромат расчет балки на прочностьсж]

Если же балка короткая, то проверяют точку Б:

Сопромат расчет балки на прочностьгде Rсрез – расчетное сопротивление материала на срез.

В точке D на элемент действует нормальные и касательные напряжения, поэтому в некоторых случаях их совместное действие вызывает опасность для прочности. В этом случае элемент D проверяют на прочность используя главные напряжения.

Сопромат расчет балки на прочность

В нашем случае: Сопромат расчет балки на прочность, следовательно:

Сопромат расчет балки на прочность

Используя σ 1 и σ2 по теории прочности проверяют элемент D.

По теории наибольших касательных напряжений имеем: σ 1 – σ2≤R

Примечание: точку D следует брать по длине балки там, где одновременно действуют большие M и Q.

По высоте балки выбираем такое место, где одновременно действуют значения σ и τ.

Сопромат расчет балки на прочность

1. В балках прямоугольного и круглого сечения отсутствуют точки, в которых одновременно действуют большие σ и τ. Поэтому в таких балках проверка точки D не делается.

2. В балках двутаврового сечения на границе пересечения полки со стенкой (т. А) одновременно действуют большие σ и τ. Поэтому они проверяются на прочность в этой точке.

Читать также:  Где найти нихромовую нить

В прокатных двутаврах и швеллерах в зоне пересечения полки со стенкой сделаны плавные переходы (закругления). Стенка и полка подобраны так, что точка A оказывается в благоприятных условиях работы и проверка прочности не требуется.

В составных (сварных) двутавровых балках проверка точки А необходима.

Сопромат расчет балки на прочность

В качестве примера, возьмем металлическую балку на двух опорах. Запишем для нее формулу для вычисления прогиба, посчитаем его численное значение. И также в конце этой статьи дам ссылки на другие полезные статьи с примерами определения прогибов для различных расчетных схем.

Что такое прогиб балки?

Под действием внешней нагрузки, поперечные сечения балки перемещаются вертикально (вверх или вниз), эти перемещения называются прогибами. Сопромат позволяет нам определить прогиб балки, зная ее геометрические параметры: длину, размеры поперечного сечения. И также нужно знать материал, из которого изготовлена балка (модуль упругости).

Кстати! Помимо вертикальных перемещений, поперечные сечения балки, поворачиваются на определенный угол. И эти величины также можно определить методом начальных параметров.

Сопромат расчет балки на прочность

ν-прогиб сечения C; θ-угол поворота сечения C.

Прогибы балки необходимо рассчитывать, при расчете на жесткость. Расчётные значения прогибов не должны превышать допустимых значений. Если расчетное значение меньше, чем допустимое, то считают, что условие жесткости элемента конструкции соблюдается. Если же нет, то принимаются меры по повышению жесткости. Например, задаются другим материалом, у которого модуль упругости БОЛЬШЕ. Либо же меняют геометрические параметры балки, чаще всего, поперечное сечение. Например, если балка двутаврового профиля №12, не подходит по жесткости, принимают двутавр №14 и делают перерасчет. Если потребуется, повторяют подбор, до того момента пока не найдут тот самый – двутавр.

Метод начальных параметров

Метод начальных параметров, является довольно универсальным и простым методом. Используя этот метод можно записывать формулу для вычисления прогиба и угла поворота любого сечения балки постоянной жесткости (с одинаковым поперечным сечением по длине.)

Под начальными параметрами понимаются уже известные перемещения:

  • в опорах прогибы равны нулю;
  • в жесткой заделке прогиб и угол поворота сечения равен нулю.

Расчет прогибов балки

Посмотрим, как пользоваться методом начальных параметров на примере простой балки, которая загружена всевозможными типами нагрузок, чтобы максимально охватить все тонкости этого метода:

Сопромат расчет балки на прочность

Реакции опор

Для расчета нужно знать все внешние нагрузки, действующие на балку, в том числе и реакции, возникающие в опорах.

Сопромат расчет балки на прочность

Система координат

Далее вводим систему координат, с началом в левой части балки (точка А):

Сопромат расчет балки на прочность

Распределенная нагрузка

Метод начальных параметров, который будем использовать чуть позднее, работает только в том случае, когда распределенная нагрузка доходит до крайнего правого сечения, наиболее удаленного от начала системы координат. Конкретно, в нашем случае, нагрузка обрывается и такая расчетная схема неприемлема для дальнейшего расчета.

Если бы нагрузка была приложена вот таким способом:

Сопромат расчет балки на прочность

То можно было бы сразу приступать к расчету перемещений. Нам же потребуется использовать один хитрый прием – ввести дополнительные нагрузки, одна из которых будет продолжать действующую нагрузку q, другая будет компенсировать это искусственное продолжение. Таким образом, получим эквивалентную расчетную схему, которую уже можно использовать в расчете методом начальных параметров:

Читать также:  Какие бывают ножницы по металлу ручные

Сопромат расчет балки на прочность

Вот, собственно, и все подготовительные этапы, которые нужно сделать перед расчетом.

Приступим непосредственно к самому расчету прогиба балки. Рассмотрим наиболее интересное сечение в середине пролета, очевидно, что это сечение прогнется больше всех и при расчете на жесткость такой балки, рассчитывалось бы именно это сечение. Обзовем его буквой – C:

Сопромат расчет балки на прочность

Относительно системы координат записываем граничные условия. Учитывая способ закрепления балки, фиксируем, что прогибы в точках А и В равны нулю, причем важны расстояния от начала координат до опор:

Записываем уравнение метода начальных параметров для сечения C:

Произведение жесткости балки EI и прогиба сечения C будет складываться из произведения EI и прогиба сечения в начале системы координат, то есть сечения A:

Напомню, E – это модуль упругости первого рода, зависящий от материала из которого изготовлена балка, I – это момент инерции, который зависит от формы и размеров поперечного сечения балки. Также учитывается угол поворота поперечного сечения в начале системы координат, причем угол поворота дополнительно умножается на расстояние от рассматриваемого сечения до начала координат:

Учет внешней нагрузки

И, наконец, нужно учесть внешнюю нагрузку, но только ту, которая находится левее рассматриваемого сечения C. Здесь есть несколько особенностей:

  • Сосредоточенные силы и распределенные нагрузки, которые направленны вверх, то есть совпадают с направлением оси y, в уравнении записываются со знаком «плюс». Если они направленны наоборот, соответственно, со знаком «минус»:

Сопромат расчет балки на прочность

  • Моменты, направленные по часовой стрелке – положительные, против часовой стрелки – отрицательные:

Сопромат расчет балки на прочность

  • Все сосредоточенные моменты нужно умножать дробь:

[ Mcdot frac < < x >^ < 2 >>< 2 >]

  • Все сосредоточенные силы нужно умножать дробь:

[ Fcdot frac < < x >^ < 3 >>< 6 >]

  • Начало и конец распределенных нагрузок нужно умножать на дробь:

Формулы прогибов

С учетом всех вышеописанных правил запишем окончательное уравнение для сечения C:

В этом уравнении содержится 2 неизвестные величины – искомый прогиб сечения C и угол поворота сечения A.

Поэтому, чтобы найти прогиб, составим второе уравнение для сечения B, из которого можно определить угол поворота сечения A. Заодно закрепим пройденный материал:

Выражаем угол поворота:

Подставляем это значение в наше первое уравнение и находим искомое перемещение:

Вычисление прогиба

Значение получили в общем виде, так как изначально не задавались тем, какое поперечное сечение имеет рассчитываемая балка. Представим, что металлическая балка имеет двутавровое поперечное сечение №30. Тогда:

Таким образом, такая балка прогнется максимально на 2 см. Знак «минус» указывает на то, что сечение переместится вниз.

Оставить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *