Максимальная скорость пружинного маятника формула

Свободные колебания совершаются под действием внутренних сил системы после того, как система была выведена из положения равновесия.

Для того, чтобы свободные колебания совершались по гармоническому закону, необходимо, чтобы сила, стремящаяся возвратить тело в положение равновесия, была пропорциональна смещению тела из положения равновесия и направлена в сторону, противоположную смещению (см. §2.1):

.

В этом соотношении – круговая частота гармонических колебаний. Таким свойством обладает упругая сила в пределах применимости закона Гука:

.

Силы любой другой физической природы, удовлетворяющие этому условию, называются квазиупругими .

Таким образом, груз некоторой массы , прикрепленный к пружине жесткости , второй конец которой закреплен неподвижно (рис. 2.2.1), составляют систему, способную в отсутствие трения совершать свободные гармонические колебания. Груз на пружине называют линейным гармоническим осциллятором .

Максимальная скорость пружинного маятника формула
Рисунок 2.2.1.

Круговая частота свободных колебаний груза на пружине находится из второго закона Ньютона:

Максимальная скорость пружинного маятника формула

откуда

Максимальная скорость пружинного маятника формула

Частота называется собственной частотой колебательной системы.

Период гармонических колебаний груза на пружине равен

Максимальная скорость пружинного маятника формула

При горизонтальном расположении системы пружина–груз сила тяжести, приложенная к грузу, компенсируется силой реакции опоры. Если же груз подвешен на пружине, то сила тяжести направлена по линии движения груза. В положении равновесия пружина растянута на величину , равную

Максимальная скорость пружинного маятника формула

и колебания совершаются около этого нового положения равновесия. Приведенные выше выражения для собственной частоты и периода колебаний справедливы и в этом случае.

Строгое описание поведения колебательной системы может быть дано, если принять во внимание математическую связь между ускорением тела и координатой : ускорение является второй производной координаты тела по времени :

Максимальная скорость пружинного маятника формула

Поэтому второй закон Ньютона для груза на пружине может быть записан в виде

Максимальная скорость пружинного маятника формула

или

Максимальная скорость пружинного маятника формула
(*)

где Максимальная скорость пружинного маятника формула

Все физические системы (не только механические), описываемые уравнением (*), способны совершать свободные гармонические колебания, так как решением этого уравнения являются гармонические функции вида

m cos .

Уравнение (*) называется уравнением свободных колебаний . Следует обратить внимание на то, что физические свойства колебательной системы определяют только собственную частоту колебаний или период . Такие параметры колебательного процесса, как амплитуда m и начальная фаза , определяются способом, с помощью которого система была выведена из состояния равновесия в начальный момент времени.

Читать также:  Сообщение на тему черная и цветная металлургия

Если, например, груз был смещен из положения равновесия на расстояние и затем в момент времени отпущен без начальной скорости, то m = , .

Если же грузу, находившемуся в положении равновесия, с помощью резкого толчка была сообщена начальная скорость Максимальная скорость пружинного маятника формулато Максимальная скорость пружинного маятника формула

Таким образом, амплитуда m свободных колебаний и его начальная фаза определяются начальными условиями .

Существует много разновидностей механических колебательных систем, в которых используются силы упругих деформаций. На рис. 2.2.2 показан угловой аналог линейного гармонического осциллятора, совершающий крутильные колебания. Горизонтально расположенный диск висит на упругой нити, закрепленной в его центре масс. При повороте диска на угол возникает момент сил упругой деформации кручения:

.

Это соотношение выражает закон Гука для деформации кручения. Величина аналогична жесткости пружины . Второй закон Ньютона для вращательного движения диска записывается в виде (см. §1.23)

Максимальная скорость пружинного маятника формула

где – момент инерции диска относительно оси, проходящий через центр масс, – угловое ускорение.

По аналогии с грузом на пружине можно получить:

Максимальная скорость пружинного маятника формула

Крутильный маятник широко используется в механических часах. Его называют балансиром. В балансире момент упругих сил создается с помощью спиралевидной пружинки.

Пружинный маятник представляет собой материальную точку массой Максимальная скорость пружинного маятника формула, прикрепленную к абсолютно упругой невесомой пружине с жесткостью Максимальная скорость пружинного маятника формула. Различают два наиболее простых случая: горизонтальный (рис.15,а) и вертикальный (рис.15, б) маятники.

а) Горизонтальный маятник (рис. 15,а). При смещении груза Максимальная скорость пружинного маятника формулаиз положения равновесия Максимальная скорость пружинного маятника формулана величину Максимальная скорость пружинного маятника формулана него действует в горизонтальном направлениивозвращающая упругая сила Максимальная скорость пружинного маятника формула(закон Гука).

Предполагается, что горизонтальная опора, по которой скользит груз Максимальная скорость пружинного маятника формулапри своих колебаниях, абсолютно гладкая (трения нет).

б) Вертикальный маятник (рис.15, б). Положение равновесия в этом случае характеризуется условием:

Максимальная скорость пружинного маятника формула

где Максимальная скорость пружинного маятника формула– величина упругой силы, действующей на груз Максимальная скорость пружинного маятника формулапри статическом растяжении пружины на Максимальная скорость пружинного маятника формулапод действием силы тяжести грузаМаксимальная скорость пружинного маятника формула.

Читать также:  Как правильно установить резец на токарном станке

Максимальная скорость пружинного маятника формула

Максимальная скорость пружинного маятника формула

Рис.15. Пружинный маятник: а – горизонтальный и б – вертикальный

Если растянуть пружину и отпустить груз, то он начнет совершать вертикальные колебания. Если смещение в какой-то момент времени будет Максимальная скорость пружинного маятника формула, то сила упругости запишется теперь как Максимальная скорость пружинного маятника формула.

В обоих рассмотренных случаях пружинный маятник совершает гармонические колебания с периодом

Максимальная скорость пружинного маятника формула(27)

и циклической частотой

Максимальная скорость пружинного маятника формула. (28)

На примере рассмотрения пружинного маятника можно сделать вывод о том, что гармонические колебания – это движение, вызванное силой, возрастающей пропорционально смещению Максимальная скорость пружинного маятника формула. Таким образом, если возвращающая сила по виду напоминает закон Гука Максимальная скорость пружинного маятника формула(она получила название квазиупругой силы), то система должна совершать гармонические колебания. В момент прохождения положения равновесия на тело не действует возвращающая сила, однако, тело по инерции проскакивает положение равновесия и возвращающая сила меняет направление на противоположное.

Математический маятник

Максимальная скорость пружинного маятника формула

Рис.16. Математический маятник

Математический маятник представляет собой идеализированную систему в виде материальной точки, подвешенной на невесомой нерастяжимой нити длиной Максимальная скорость пружинного маятника формула, которая совершает малые колебания под действием силы тяжести (рис. 16).

Колебания такого маятника при малых углах отклонения Максимальная скорость пружинного маятника формула(не превышающих 5º) можно считать гармоническими, и циклическая частота математического маятника:

Максимальная скорость пружинного маятника формула, (29)

Максимальная скорость пружинного маятника формула. (30)

2.3. Энергия тела при гармонических колебаниях

Энергия, сообщенная колебательной системе при начальном толчке, будет периодически преобразовываться: потенциальная энергия деформированной пружины будет переходить в кинетическую энергию движущегося груза и обратно.

Пусть пружинный маятник совершает гармонические колебания с начальной фазой Максимальная скорость пружинного маятника формула, т.е.Максимальная скорость пружинного маятника формула(рис.17).

Максимальная скорость пружинного маятника формула

Рис.17. Закон сохранения механической энергии

при колебаниях пружинного маятника

При максимальном отклонении груза от положения равновесия полная механическая энергия маятника (энергия деформированной пружины с жесткостью Максимальная скорость пружинного маятника формула) равна Максимальная скорость пружинного маятника формула. При прохождении положения равновесия (Максимальная скорость пружинного маятника формула) потенциальная энергия пружины станет равной нулю, и полная механическая энергия колебательной системы определится как Максимальная скорость пружинного маятника формула.

Читать также:  Резина своими руками изготовление

На рис.18 представлены графики зависимостей кинетической, потенциальной и полной энергии в случаях, когда гармонические колебания описываются тригонометрическими функциями синуса (пунктирная линия) или косинуса (сплошная линия).

Максимальная скорость пружинного маятника формула

Рис.18. Графики временной зависимости кинетической

и потенциальной энергии при гармонических колебаниях

Из графиков (рис.18) следует, что частота изменения кинетической и потенциальной энергии в два раза выше собственной частоты гармонических колебаний.

Максимальная скорость пружинного маятника формула

Маятник на пружине — механическая система, состоящая из пружины с коэффициентом упругости (жёсткостью) k (закон Гука), один конец которой жёстко закреплён, а на втором находится груз массы m.

Период колебаний пружинного маятника может быть вычислен по следующей формуле:

T = 2 π m k <displaystyle T=2pi <sqrt <frac >>> Максимальная скорость пружинного маятника формула.

Когда на массивное тело действует упругая сила, возвращающая его в положение равновесия, оно совершает колебания около этого положения. Такое тело называют пружинным маятником. Колебания возникают под действием внешней силы. Колебания, которые продолжаются после того, как внешняя сила перестала действовать, называют свободными. Колебания, обусловленные действием внешней силы, называют вынужденными. При этом сама сила называется вынуждающей.

В простейшем случае пружинный маятник представляет собой движущееся по горизонтальной плоскости твердое тело, прикрепленное пружиной к стене.

Второй закон Ньютона для такой системы при условии отсутствия внешних сил и сил трения имеет вид:

m a = − k x ⟺ x ¨ + k m x = 0 <displaystyle ma=-kxiff <ddot >+<frac >x=0> Максимальная скорость пружинного маятника формула

Если на систему оказывают влияние внешние силы, то уравнение колебаний перепишется так:

x ¨ + k m x = f ( x ) <displaystyle <ddot >+<frac >x=f(x)> Максимальная скорость пружинного маятника формула, где f(x) — это равнодействующая внешних сил соотнесённая к единице массы груза.

В случае наличия затухания, пропорционального скорости колебаний с коэффициентом c:

x ¨ + c m x ˙ + k m x = f ( x ) <displaystyle <ddot >+<frac ><dot >+<frac >x=f(x)> Максимальная скорость пружинного маятника формула

Оцените статью
Добавить комментарий

Adblock detector