1. Жесткость пружинного маятника 8000 Н/м. Чему равен период и частота его колебаний?
2. Два одинаковых пружинных маятника колеблются с амплитудами – 3 и 6 см. Как различаются периоды их колебаний?
3. Пружинный маятник совершил 15 колебаний за одну минуту. Каковы период и частота колебаний?
4. Координаты пружинного маятника изменяются по закону
Чему равны амплитуда, период и частота колебаний. В формуле все величины выражены в системе СИ.
Краткая теория:
Пружинный маятник – это груз, колеблющийся на пружине. Он соверщает возвратно-поступательное движение. Пружинный маятник подчиняется законам движения, по которым можно определить период его колебаний, зная массу груза и жесткость пружины. Период колебаний пружинного маятника не зависит от места его расположения и амплитуды колебаний.
Формулы для решения :
Алгоритм решения типовой задачи:
1. Кратко записываем условие, изображаем его графически. На рисунке обозначаем необходимые данные: силы, действующие на маятник, направление его движения и другие.
2. Записываем основную формулу для определения периода колебаний пружинного маятника и другие необходимые формулы колебательного движения. Определяем, какие величины надо найти из других механических соотношений, записываем их.
3. Решаем полученные уравнения в общем виде.
4. Подставляем данные, вычисляем. Перед подстановкой переводим все данные в единую систему.
5. Записываем ответ.
Примеры решения:
Задача 1.
Масса груза пружинного маятника 0,5 кг, жесткость пружины 8000 Н/м. Чему равен период и частота его колебаний?
1. Кратко записываем условие, изображаем его графически.
2. Записываем основную формулу для определения периода колебаний пружинного маятника и соотношение между периодом и частотой колебаний.
3. Решаем полученные уравнения в общем виде. Формулы сразу дают общее решение.
4. Подставляем данные, вычисляем.
5. Ответ: Частота колебаний примерно 20 герц, их период – 0,05 секунды.
Задача 2.
Два одинаковых пружинных маятника колеблются с амплитудами – 3 и 6 см. Как различаются периоды их колебаний?
1. Кратко записываем условие, изображаем его графически.
2. Записываем основную формулу для определения периода колебаний пружинного маятника.
3. Решаем полученные уравнения в общем виде.
4. Подставляем данные, вычисляем.
5. Ответ: Период колебаний пружинного маятника не зависит от амплитуды.
Задача 3.
Пружинный маятник совершил 15 колебаний за одну минуту. Каковы период и частота колебаний?
1. Кратко записываем условие, изображаем его графически.
2. Частота колебаний – это их количество в единицу времени. Единица времени в системе СИ – секунда. Значит, надо просто найти количество колебаний в секунду. Для этого количество колебаний в минуту надо разделить на 60, так как в минуте 60 секунд.
Период – величина, обратная частоте.
3. Решаем полученные уравнения в общем виде. Формулы сразу дают общее решение.
4. Подставляем данные, вычисляем.
5. Ответ: период колебаний равен 4 секундам, их частоту – 0,25 герца.
Задача 4.
Координаты пружинного маятника изменяются по закону
Чему равны амплитуда, период и частота колебаний. В формуле все величины выражены в системе СИ.
1. Кратко записываем условие, изображаем его графически.
2. Записываем общее уравнение гармонического колебания. Сравниваем заданное уравнение движения маятника с общим уравнением.
3. Из сравнения получаем:
Отсюда легко вычисляется частота и период колебаний.
4. Подставляем данные, вычисляем
5. Ответ: Амплитуда колебаний равна 0,5 метра, период – четырем секундам, частота – 0,25 Гц.
Пружинный маятник представляет собой материальную точку массой , прикрепленную к абсолютно упругой невесомой пружине с жесткостью
. Различают два наиболее простых случая: горизонтальный (рис.15,а) и вертикальный (рис.15, б) маятники.
а) Горизонтальный маятник (рис. 15,а). При смещении груза из положения равновесия
на величину
на него действует в горизонтальном направлениивозвращающая упругая сила
(закон Гука).
Предполагается, что горизонтальная опора, по которой скользит груз при своих колебаниях, абсолютно гладкая (трения нет).
б) Вертикальный маятник (рис.15, б). Положение равновесия в этом случае характеризуется условием:
где – величина упругой силы, действующей на груз
при статическом растяжении пружины на
под действием силы тяжести груза
.
Рис.15. Пружинный маятник: а – горизонтальный и б – вертикальный
Если растянуть пружину и отпустить груз, то он начнет совершать вертикальные колебания. Если смещение в какой-то момент времени будет , то сила упругости запишется теперь как
.
В обоих рассмотренных случаях пружинный маятник совершает гармонические колебания с периодом
(27)
и циклической частотой
. (28)
На примере рассмотрения пружинного маятника можно сделать вывод о том, что гармонические колебания – это движение, вызванное силой, возрастающей пропорционально смещению . Таким образом, если возвращающая сила по виду напоминает закон Гука
(она получила название квазиупругой силы), то система должна совершать гармонические колебания. В момент прохождения положения равновесия на тело не действует возвращающая сила, однако, тело по инерции проскакивает положение равновесия и возвращающая сила меняет направление на противоположное.
Математический маятник
Рис.16. Математический маятник
Математический маятник представляет собой идеализированную систему в виде материальной точки, подвешенной на невесомой нерастяжимой нити длиной , которая совершает малые колебания под действием силы тяжести (рис. 16).
Колебания такого маятника при малых углах отклонения (не превышающих 5º) можно считать гармоническими, и циклическая частота математического маятника:
, (29)
. (30)
2.3. Энергия тела при гармонических колебаниях
Энергия, сообщенная колебательной системе при начальном толчке, будет периодически преобразовываться: потенциальная энергия деформированной пружины будет переходить в кинетическую энергию движущегося груза и обратно.
Пусть пружинный маятник совершает гармонические колебания с начальной фазой , т.е.
(рис.17).
Рис.17. Закон сохранения механической энергии
при колебаниях пружинного маятника
При максимальном отклонении груза от положения равновесия полная механическая энергия маятника (энергия деформированной пружины с жесткостью ) равна
. При прохождении положения равновесия (
) потенциальная энергия пружины станет равной нулю, и полная механическая энергия колебательной системы определится как
.
На рис.18 представлены графики зависимостей кинетической, потенциальной и полной энергии в случаях, когда гармонические колебания описываются тригонометрическими функциями синуса (пунктирная линия) или косинуса (сплошная линия).
Рис.18. Графики временной зависимости кинетической
и потенциальной энергии при гармонических колебаниях
Из графиков (рис.18) следует, что частота изменения кинетической и потенциальной энергии в два раза выше собственной частоты гармонических колебаний.
Свободные колебания совершаются под действием внутренних сил системы после того, как система была выведена из положения равновесия.
Для того, чтобы свободные колебания совершались по гармоническому закону, необходимо, чтобы сила, стремящаяся возвратить тело в положение равновесия, была пропорциональна смещению тела из положения равновесия и направлена в сторону, противоположную смещению (см. §2.1):
. |
В этом соотношении – круговая частота гармонических колебаний. Таким свойством обладает упругая сила в пределах применимости закона Гука:
. |
Силы любой другой физической природы, удовлетворяющие этому условию, называются квазиупругими .
Таким образом, груз некоторой массы , прикрепленный к пружине жесткости , второй конец которой закреплен неподвижно (рис. 2.2.1), составляют систему, способную в отсутствие трения совершать свободные гармонические колебания. Груз на пружине называют линейным гармоническим осциллятором .
![]() |
Рисунок 2.2.1. |
Круговая частота свободных колебаний груза на пружине находится из второго закона Ньютона:
![]() |
откуда
![]() |
Частота называется собственной частотой колебательной системы.
Период гармонических колебаний груза на пружине равен
![]() |
При горизонтальном расположении системы пружина–груз сила тяжести, приложенная к грузу, компенсируется силой реакции опоры. Если же груз подвешен на пружине, то сила тяжести направлена по линии движения груза. В положении равновесия пружина растянута на величину , равную
![]() |
и колебания совершаются около этого нового положения равновесия. Приведенные выше выражения для собственной частоты и периода колебаний справедливы и в этом случае.
Строгое описание поведения колебательной системы может быть дано, если принять во внимание математическую связь между ускорением тела и координатой : ускорение является второй производной координаты тела по времени :
![]() |
Поэтому второй закон Ньютона для груза на пружине может быть записан в виде
![]() |
или
![]() |
где
Все физические системы (не только механические), описываемые уравнением (*), способны совершать свободные гармонические колебания, так как решением этого уравнения являются гармонические функции вида
m cos . |
Уравнение (*) называется уравнением свободных колебаний . Следует обратить внимание на то, что физические свойства колебательной системы определяют только собственную частоту колебаний или период . Такие параметры колебательного процесса, как амплитуда m и начальная фаза , определяются способом, с помощью которого система была выведена из состояния равновесия в начальный момент времени.
Если, например, груз был смещен из положения равновесия на расстояние и затем в момент времени отпущен без начальной скорости, то m = , .
Если же грузу, находившемуся в положении равновесия, с помощью резкого толчка была сообщена начальная скорость то
Таким образом, амплитуда m свободных колебаний и его начальная фаза определяются начальными условиями .
Существует много разновидностей механических колебательных систем, в которых используются силы упругих деформаций. На рис. 2.2.2 показан угловой аналог линейного гармонического осциллятора, совершающий крутильные колебания. Горизонтально расположенный диск висит на упругой нити, закрепленной в его центре масс. При повороте диска на угол возникает момент сил упругой деформации кручения:
. |
Это соотношение выражает закон Гука для деформации кручения. Величина аналогична жесткости пружины . Второй закон Ньютона для вращательного движения диска записывается в виде (см. §1.23)
![]() |
где – момент инерции диска относительно оси, проходящий через центр масс, – угловое ускорение.
По аналогии с грузом на пружине можно получить:
![]() |
Крутильный маятник широко используется в механических часах. Его называют балансиром. В балансире момент упругих сил создается с помощью спиралевидной пружинки.